지수·로그 곡선과 원

선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 중심을 점 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{\left( k , \frac{19}{2} \right)}$라 할 때, 점 ${\mathrm{C}}$는 선분 ${\mathrm{AB}}$의 중점이다. 두 곡선 $y = a ^{x} + 2$, $y = \log _{a} x + 2$를 $y$축의 방향으로 각각 $\mathrm{-} 2$만큼 평행이동한 두 곡선 $y = a ^{x}$, $y = \log _{a} x$가 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$를 $y$축의 방향으로 각각 $\mathrm{-} 2$만큼 평행이동한 두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{'}$, $\mathrm{B} \mathit{'}$도 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 점 ${\mathrm{C}}$를 $y$축의 방향으로 $\mathrm{-} 2$만큼 평행이동한 점 $\displaystyle \mathrm{C} \mathit{'} \left( k , \frac{15}{2} \right)$가 선분 $\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}$의 중점이므로 점 $\mathrm{C} \mathit{'}$은 직선 $y = x$ 위에 있다. 그러므로 $\displaystyle k = \frac{15}{2}$이다. 넓이가 $\displaystyle \frac{121}{2} \pi$인 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{C} \mathit{'}}} = \frac{11 \sqrt{2}}{2}$이고 직선 $\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B} \mathit{'}$의 기울기가 $\mathrm{-} 1$이므로 점 ${\mathrm{A}} \mathit{'}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{15}{2} - \frac{11}{2} , \frac{15}{2} + \frac{11}{2} \right) = \left( 2 , 13 \right)$ 점 $\mathrm{A} \mathit{'} \left( 2 , 13 \right)$이 곡선 $y = a ^{x}$ 위의 점이므로 $a ^{2} = 13$