지수·로그 곡선과 직선

함수 $f ( x )$의 역함수 $f ^{- 1} ( x ) = 2 ^{x} + k$의 그래프에 대하여 함수 $g ( x ) = 2 ^{x + 1} + k + 1$의 그래프는 함수 $f ^{- 1} ( x )$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $\mathrm{-} 1$만큼, $y$축의 방향으로 $\mathrm{1}$만큼 평행이동한 그래프와 일치한다. 함수 $f ^{- 1} ( x )$의 그래프와 직선 $y = - x + 2 k$가 만나는 점을 $\mathrm{C}$라 하자.

점 $\mathrm{B}$는 점 $\mathrm{C}$를 $x$축의 방향으로 $\mathrm{-} 1$만큼, $y$축의 방향으로 $\mathrm{1}$만큼 평행이동한 점이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 7 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = 6 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점과 일치하므로 점 ${\mathrm{A}} \mathit{(} a , - a + 2 k )$라 하면 점 ${\mathrm{C}} \mathit{(} - a + 2 k , a )$ $a > k + 1$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ ( - a + 2 k ) - a \right\} ^{2} + \left\{ a - ( - a + 2 k ) \right\} ^{2}}$ $\displaystyle = 2 ( a - k ) \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ $a - k = 3$, $a = k + 3$ 점 ${\mathrm{A}} \mathit{(} a , - a + 2 k )$는 함수 $f ( x )$의 그래프 위의 점이므로 $- a + 2 k = \log _{2} \left( a - k \right)$ $k - 3 = \log _{2} 3$ 따라서 $k = \log _{2} 24$