지수·로그 곡선과 직선

함수 $y = - \log _{3} x + 4$와 함수 $y = 3 ^{- x + 4}$은 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{CD}}}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} - {\overline{\mathrm{BC}}} = 4 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$ 점 $\mathrm{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선과 점 $\mathrm{B}$를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 만나는 점을 ${\mathrm{H}}$라 하자.

직선 ${\mathrm{AB}}$의 기울기가 $\mathrm{-} 1$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AH}}} = \overline{{\mathrm{BH}}} = 2$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $( a , - a + k )$라 하면 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $( a + 2 , - a + k - 2 )$이다. 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$는 함수 $y = - \log _{3} x + 4$의 그래프 위의 점이므로 $- a + k = - \log _{3} a + 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $- a + k - 2 = - \log _{3} \left( a + 2 \right) + 4$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle 2 = \log _{3} \frac{a + 2}{a}$, $\displaystyle a = \frac{1}{4}$ 이고 ㉠에 의하여 $\displaystyle - \frac{1}{4} + k = - \log _{3} \frac{1}{4} + 4$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{17}{4} + 2 \log _{3} 2$