지수·로그 곡선 위 두 점

함수 $y = e ^{x}$ 위의 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( a , e ^{a} \right)$라 하고 직선 $\mathrm{OA}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\alpha$라고 하자. 마찬가지로 $y = - \ln x$ 위의 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $\left( b , - \ln b \right)$라고 하고 직선 $\mathrm{OB}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\beta$라고 하면 (나)에 의하여 $\alpha + \beta = 90 ^\circ$이다. 한편, 함수 $y = - \ln x$의 그래프는 $y = e ^{x}$의 그래프를 $y = x$에 대하여 대칭이동 한 후 $x$축에 대하여 대칭이동 한 것과 같으므로 점 $\mathrm{C} \left( \ln b , b \right)$는 $y = e ^{x}$위의 점이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}} = \overline{\mathrm{OC}}$이며 직선 $\mathrm{OC}$와 $y$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 $\beta$이다. 따라서 직선 $\mathrm{OC}$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 $90 ^\circ - \beta = \alpha$이므로 세 점 $\mathrm{O} , A , C$는 한 직선 위에 있다. (가)에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = 2 \overline{OB} = 2 \overline{OC}$이므로 $\left( 2 \ln b , 2 b \right) = \left( a , e ^{a} \right)$이고 이를 연립하면 $a = 2 \ln 2$이다. $\therefore$ 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{e ^{a}}{a} = \frac{4}{2 \ln 2} = \frac{2}{\ln 2}$