대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

지수·로그 그래프 정사각형

문제

그림에서 $\mathrm{A} _{1}$ 은 원점 $\mathrm{O}$ , 직선 $y = x$ 위의 한 점과 두 함수 $y = 2 ^{x}$ 과 $y = \log _{2} x$ 의 그래프가 좌표축과 만나는 두 점을 네 꼭짓점으로 하는 정사각형이다. $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{A} _{3}$ , $\mathrm{A} _{4}$ 는 두 함수 $y = 2 ^{x}$ , $y = \log _{2} x$ 의 그래프 위의 각각의 한 점, $y = x$ 위의 두 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형이다. $\mathrm{A} _{1}$ 과 $\mathrm{A} _{2}$ , $\mathrm{A} _{2}$ 와 $\mathrm{A} _{3}$ , $\mathrm{A} _{3}$ 와 $\mathrm{A} _{4}$ 는 각각 한 개의 꼭짓점만을 공유한다. 이 때, $\mathrm{A} _{4}$ 의 넓이를 구하시오. [4점]

$y = 2 ^{x}$ $y = \log _{2} x$

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144

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[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프 이해하기 그림과 같이 두 함수 $y = 2 ^{x}$ , $y = \log _{2} x$ 는 좌표축과 각각 $( 0 , 1 )$ , $( 1 , 0 )$ 에서 만나므로 정사각형 $\mathrm{A} _{1}$ 의 한 변의 길이는 $1$ 이다. 또, $x = 1$ 을 지수함수에 대입하면 정사각형 $\mathrm{A} _{2}$ 의 한 변의 길이는 $1$ 이고, $x = 2$ 를 지수함수에 대입하면 정사각형 $\mathrm{A} _{3}$ 의 한 변의 길이는 $2$ 이고, $x = 4$ 를 지수함수에 대입하면 정사각형 $\mathrm{A} _{4}$ 의 한 변의 길이는 $12$ 이다. 그러므로 $\mathrm{A} _{4}$ 의 넓이는 $144$ 이다.

$y = 2 ^{x}$ $y = \log _{2} x$

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