지수 조건과 로그

$2 ^{a} = 3 ^{b} = c$에서 $a = \log _{2} c$, $b = \log _{3} c$ $\displaystyle \log _{c} 2 = \frac{1}{a}$, $\displaystyle \log _{c} 3 = \frac{1}{b}$ $\displaystyle \log _{c} 6 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$, $\displaystyle \log _{6} c = \frac{ab}{a + b}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $a ^{2} + b ^{2} = 2 ab \left( a + b - 1 \right) = 2 ab \left( a + b \right) - 2 ab$ $\left( a + b \right) ^{2} = 2 ab \left( a + b \right)$ 양변을 $2 \left( a + b \right) ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle \frac{ab}{a + b} = \frac{1}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의해 $\displaystyle \log _{6} c = \frac{1}{2}$