지수 조건 순서쌍

[출제의도] 지수방정식과 지수부등식을 이용하여 문제 해결하기 (i) 조건 (가)에서 $f ( 2 ) g ( 11 ) = a ^{2} b ^{11} = 2 ^{2015}$이므로 $a ^{2} b ^{11} = 2 ^{2015} \cdots \cdots \text{①}$ 이다. $a , b$는 각각 $1$보다 큰 자연수이면서 $2$의 거듭제곱꼴이어야 하므로 $a = 2 ^{m} , b = 2 ^{n}$($m$, $n$은 자연수) 로 두자. $a = 2 ^{m} , b = 2 ^{n}$을 식 ①에 대입하면 $2 m + 11 n = 2015 \cdots \cdots \text{ ②}$ 이다. 그런데 $2 m$은 짝수이므로 $11 n$은 홀수이어야 한다. 따라서 $n$은 홀수이므로 $n = 2 k - 1 \cdots \cdots \text{ ③}$($k$는 자연수) 이다. $\text{ ③}$을$\text{ ②}$에 대입하면 $\begin{aligned} 2015 & = 2 m + 11 n = 2 m + 11 ( 2 k - 1 ) = 2 m + 22 k - 11 \end{aligned}$ 이고 정리하면 $m = 1013 - 11 k \cdots \cdots \text{ ④}$ 이다. $m$과 $k$가 자연수이므로 $\text{ ④}$식에서 $m = 1013 - 11 k \geq 1$ 이고 정리하면 $\displaystyle 1 \leq k \leq \frac{1012}{11} = 92$이다. (ii) 조건(나)에서 $a ^{2} = f ( 2 ) < g ( 4 ) = b ^{4}$이고 $a = 2 ^{m} , b = 2 ^{n}$($m$, $n$은 자연수)에서 $2 ^{2 m} < 2 ^{4 n}$이므로 $m < 2 n \cdots \cdots \text{ ⑤}$ 이다. $\text{ ③}$과$\text{ ④}$를 ⑤에 대입하면 $1013 - 11 k < 2 ( 2 k - 1 )$, $\displaystyle k > \frac{1015}{15} = 67.6 \cdots$ 이다. $k$가 자연수이므로 $k \geq 68$이다. (i)과 (ii)를 모두 만족하는 자연수 $k$의 범위는 $68 \leq k \leq 92$이다. 따라서 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 자연수 $k$의 개수와 같으므로 $92 - 68 + 1 = 25$이다.