지수 합성함수의 극대

$g' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{f' \left( x \right) e ^{f \left( x \right)} - \left\{ f \left( x \right) + k \right\} f' \left( x \right) e ^{f \left( x \right)}}{\left\{ e ^{f \left( x \right)} \right\} ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{f' \left( x \right) \left\{ 1 - k - f \left( x \right) \right\}}{e ^{f \left( x \right)}}$ 함수 $g \left( x \right)$가 $x = 3$에서 극대이므로 $g' \left( 3 \right) = 0$ $f' \left( 3 \right) = 0$ 또는 $f \left( 3 \right) = 1 - k$ 함수 $f \left( x \right)$가 이차함수이므로 $f' \left( 3 \right) = 0$이면 $k \neq 0$인 실수 $k$에 대하여 $f \left( 3 \right) \neq f \left( 3 - 2 k \right)$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 $f' \left( 3 \right) \neq 0$이고 $f \left( 3 \right) = 1 - k$ $\displaystyle g \left( 3 \right) = \frac{f \left( 3 \right) + k}{e ^{f \left( 3 \right)}} = \frac{1}{e ^{1 - k}} = e ^{k - 1}$ $g \left( 3 \right) = e$이므로 $k = 2$ $f \left( 3 \right) = f \left( - 1 \right) = - 1$ 그러므로 $f \left( x \right) + 1 = \left( x + 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 x - 4$, $f \left( 2 \right) = - 4$ 따라서 $\displaystyle g \left( k \right) = g \left( 2 \right) = \frac{f \left( 2 \right) + 2}{e ^{f \left( 2 \right)}} = - 2 e ^{4}$