대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지수 합 최솟값 과정

문제

다음은 32p+33q+35r=37s3 ^{2p} + 3 ^{3q} + 3 ^{5r} = 3 ^{7s}을 만족시키는 양의 정수 pp, qq, rr, ss에 대하여 p+q+r+sp + q + r + s의 최솟값을 구하는 과정이다.

32p+33q+35r=32p(1+33q−2p+35r−2p)=37s3 ^{2p} + 3 ^{3q} + 3 ^{5r} = 3 ^{2p} ( 1 + 3 ^{3 q - 2 p} + 3 ^{5 r - 2 p} ) = 3 ^{7s}이므로 33q−2p=3 ^{3 q - 2 p} = (가) 이고, 35r−2p=3 ^{5 r - 2 p} = (가) 이어야 한다. 따라서 2p=3q=5r2 p = 3 q = 5 r이다. 2p=3q=5r=30m2 p = 3 q = 5 r = 30 m(mm은 양의 정수)라 하면 37s=3 ^{7s} = (나) 이므로 이를 만족시키는 양의 정수 mm, ss의 최솟값을 찾으면 p+q+r+sp + q + r + s의 최솟값 (다) 을 구할 수 있다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
① 00330m+13 ^{30m+1}100100
②00330m+33 ^{30m+3}100100
③11330m+13 ^{30m+1}100100
④ 11330m+13 ^{30m+1}106106
⑤ 11330m+33 ^{30m+3}106106
정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 추론하기 (가) 11 32p3 ^{2p}과 1+33q−2p+35r−2p1 + 3 ^{3 q - 2 p} + 3 ^{5 r - 2 p}의 곱이 33의 거듭제곱이므로 1+33q−2p+35r−2p1 + 3 ^{3 q - 2 p} + 3 ^{5 r - 2 p}은 11 또는 33의 거듭제곱이어야 한다. 따라서 33q−2p3 ^{3 q - 2 p}과 35r−2p3 ^{5 r - 2 p}이 모두 11이어야 한다. (나) 330m+13 ^{30m+1} 32p+33q+35r=37s3 ^{2p} + 3 ^{3q} + 3 ^{5r} = 3 ^{7s}에서 32p+1=330m+13 ^{2p+1} = 3 ^{30m+1}이므로 37s=330m+13 ^{7 s} = 3 ^{30m+1} (다) 106106 37s=330m+13 ^{7s} = 3 ^{30m+1}에서 7s=30m+17 s = 30 m + 1이므로 양의 정수 mm, ss의 최솟값은 m=3m = 3, s=13s = 13이다. 따라서 p=45p = 45, q=30q = 30, r=18r = 18, s=13s = 13이므로 p+q+r+s=106p + q + r + s = 106

태그

#지수법칙#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 지수와 로그 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로