지수 등식 자연수 해

[출제의도] 지수 법칙을 이용하여 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $2 ^{x+y} + 2 ^{x} + 2 ^{y} = 1160$ ⇔ $2 ^{y} ( 2 ^{x} + 2 ^{x-y} + 1 ) = 2 ^{3} \cdot 5 \cdot 29$ ⇔ $2 ^{y-3} ( 2 ^{x} + 2 ^{x-y} + 1 ) = 145$ 따라서 $2 ^{y-3} = 1$, $2 ^{x} + 2 ^{x-y} + 1 = 145$이어야 한다. $2 ^{y-3} = 1$에서 $y - 3 = 0$이므로 $y = 3$ 이때, $2 ^{x} + 2 ^{x-3} + 1 = 145$에서 $2 ^{x} = 2 ^{7}$이므로 $x = 7$ ∴ $\alpha \beta = 3 \times 7 = 21$ [다른 풀이] $2 ^{x+y} + 2 ^{x} + 2 ^{y} = 1160$에서 $2 ^{x} 2 ^{y} + 2 ^{x} + 2 ^{y} + 1 = 1161$이므로 $( 2 ^{x} + 1 ) ( 2 ^{y} + 1 ) = 1161$ 이때, $1161 = 3 ^{3} \cdot 43$이고 $2 ^{x} + 1$, $2 ^{y} + 1$은 모두 $3$ 이상인 홀수이다. (ⅰ) $2 ^{x} + 1 = 3 ^{2} \cdot 43$, $2 ^{y} + 1 = 3$일 때, $2 ^{x} = 386$인 자연수 $x$가 존재하지 않는다. (ⅱ) $2 ^{x} + 1 = 3 \cdot 43$, $2 ^{y} + 1 = 3 ^{2}$일 때, $2 ^{x} = 128$에서 $x = 7$ $2 ^{y} = 8$에서 $y = 3$ (ⅲ) $2 ^{x} + 1 = 43$, $2 ^{y} + 1 = 3 ^{3}$일 때, 자연수 $x , y$가 존재하지 않는다. ∴ $\alpha \beta = 3 \times 7 = 21$