대수수학적 귀납법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지수 부등식 귀납법

문제

다음은 모든 자연수 nn에 대하여 2n+1>n(n+1)+12 ^{n + 1} > n ( n + 1 ) + 1이 성립함을 증명한 것이다.

<증명> (ⅰ) n=1n = 1일 때, 4>2+14 > 2 + 1 n=2n = 2일 때, 8>6+18 > 6 + 1이므로 성립한다. (ⅱ) n=k(k≥2)n = k ( k \geq 2 )일 때, 2k+1>2 ^{k + 1} >(가) +1⋯㉠+ 1 \cdots \text{㉠} 이 성립한다고 가정하자. ㉠\text{㉠}의 양변에 22를 곱하면 2k+2>2 ^{k + 2} >2(k2+k+1)2 ( k ^{2} + k + 1 ) 이때, 2(k2+k+1)−2 ( k ^{2} + k + 1 ) -(나) =k2−k−1= k ^{2} - k - 1 k≥2k \geq 2일 때, k2−k−1k ^{2} - k - 1 (다) 00이므로 2k+2>2 ^{k + 2} >2(k2+k+1)2 ( k ^{2} + k + 1 )>> (나)

∴\therefore 2k+22 ^{k + 2}>>(나)

따라서 n=k+1n = k + 1일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 nn에 대하여 2n+1>n(n+1)+12 ^{n + 1} > n ( n + 1 ) + 1이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①k(k−1)k ( k - 1 ) (k+1)(k+2)( k + 1 ) ( k + 2 ) <<②k(k+1)k ( k + 1 ) (k+1)(k+2)( k + 1 ) ( k + 2 ) >>③k(k−1)k ( k - 1 ) {(k+1)(k+2)+1}\{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 1 \} >>④k(k−1)k ( k - 1 ) {(k+1)(k+2)+1}\{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 1 \} <<⑤k(k+1)k ( k + 1 ) {(k+1)(k+2)+1}\{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 1 \} >>

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⑤

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해설

n=kn = k(k≥2k \geq 2)일 때, 2k+1>2 ^{k + 1} > □k(k+1)+1\square {k ( k + 1 )} + 1이므로 2×2k+1=2 \times 2 ^{k+1} =2k+2>2 ^{k + 2} >2(k2+k+1)2 ( k ^{2} + k + 1 )이고, 이 때 2(k2+k+1)−□{(k+1)(k+2)+1}2 ( k ^{2} + k + 1 ) - \square {\left\{ ( k + 1 ) ( k + 2 ) + 1 \right\}}=k2−k−1=k(k−1)−1□>0= k ^{2} - k - 1 = k ( k - 1 ) - 1 \square {>} 0

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#수학적 귀납법#증명 빈칸

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