공통수학2원의 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지름 양 끝 원의 방정식

문제

다음은 ‘서로 다른 두 점 A(x1,y1)\mathrm{A} ( \mathit{x} _{1} , y _{1} ), B(x2,y2)\mathrm{B} ( \mathit{x} _{2} , y _{2} )를 지름의 양끝으로 하는 원의 방정식은 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=( x - x _{1} ) ( x - x _{2} ) + ( y - y _{1} ) ( y - y _{2} ) =(가) 이다.’ 를 증명한 것이다.

[증명] 원의 중심의 좌표는 ((나) , (다) )이고 반지름의 길이는 12(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}이므로 원의 방정식은 (x−x - (나) )2{}^{2}+(y−y -(다) )2{}^{2} =14{(x2−x1)2+(y2−y1)2}\displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ ( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2} \right\}이다. 위의 식을 정리하면 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=( x - x _{1} ) ( x - x _{2} ) + ( y - y _{1} ) ( y - y _{2} ) =(가) 이다.

위의 증명에서 (가) ~ (다)를 바르게 짝지은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①−1- 1 x1+x22\displaystyle \frac{x _{1} + x _{2}}{2} y1+y22\displaystyle \frac{y _{1} + y _{2}}{2}②00 x1+x22\displaystyle \frac{x _{1} + x _{2}}{2} y1+y22\displaystyle \frac{y _{1} + y _{2}}{2}③00 x1−x22\displaystyle \frac{x _{1} - x _{2}}{2} y1−y22\displaystyle \frac{y _{1} - y _{2}}{2}④11 x1+x22\displaystyle \frac{x _{1} + x _{2}}{2} y1+y22\displaystyle \frac{y _{1} + y _{2}}{2}⑤11 x1−x22\displaystyle \frac{x _{1} - x _{2}}{2} y1−y22\displaystyle \frac{y _{1} - y _{2}}{2}

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②

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해설

[출제의도] 원의 방정식 구하기 원의 중심의 좌표는(x1+x22,y1+y22)\displaystyle \left( \frac{x _{1} + x _{2}}{2} , \frac{y _{1} + y _{2}}{2} \right)이고 반지름의 길이는 12(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2}}이므로 원의 방정식은 (x−x1+x22)2+(y−y1+y22)2\displaystyle \left( x - \frac{x _{1} + x _{2}}{2} \right) ^{2} + \left( y - \frac{y _{1} + y _{2}}{2} \right) ^{2} =14{(x2−x1)2+(y2−y1)2}\displaystyle = \frac{1}{4} \left\{ ( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - y _{1} ) ^{2} \right\} ⇒ x2−(x1+x2)x+14(x1+x2)2+y2−(y1+y2)y+14(y1+y2)2\displaystyle x ^{2} - ( x _{1} + x _{2} ) x + \frac{1}{4} ( x _{1} + x _{2} ) ^{2} + y ^{2} - ( y _{1} + y _{2} ) y + \frac{1}{4} ( y _{1} + y _{2} ) ^{2} =14(x2−x1)2+14(y2−y1)2\displaystyle = \frac{1}{4} ( x _{2} - x _{1} ) ^{2} + \frac{1}{4} ( y _{2} - y _{1} ) ^{2} ⇒ x2−(x1+x2)x+x1x2+y2−(y1+y2)y+y1y2=0x ^{2} - ( x _{1} + x _{2} ) x + x _{1} x _{2} + y ^{2} - ( y _{1} + y _{2} ) y + y _{1} y _{2} = 0 따라서, (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=( x - x _{1} ) ( x - x _{2} ) + ( y - y _{1} ) ( y - y _{2} ) = 이다.

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#원의 방정식#증명 빈칸

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