지표와 가수 최솟값

$\log x = f ( x ) + g ( x )$이므로 $\log a = f ( a ) + g ( a ) \cdots \text{㉠} , \log b = f ( b ) + g ( b ) \cdots \text{㉡}$ ㉠-㉡에서 $\log a - \log b = f ( a ) - f ( b ) + g ( a ) - g ( b ) = 2 - \log 3$ 이므로 $\displaystyle \log \frac{a}{b} = \log \frac{100}{3}$,$\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{100}{3}$ $\therefore$ $3 a = 100 b$ 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 $\displaystyle 3 a + \frac{25}{b} = 100 b + \frac{25}{b} \geq 2 \sqrt{100 b \times \frac{25}{b}} = 100$이고, 등호는 $\displaystyle a = \frac{50}{3} , b = \frac{1}{2}$일 때 성립한다. 따라서 구하는 최소값은 $100$