대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

지표 조건 최댓값

문제

다음은 log⁡10A,log⁡1010A\displaystyle \log _{10} A , \log _{10} \frac{10}{A}의 지표가 각각 m,nm , n일 때, m2−2n2m ^{2} - 2 n ^{2}의 최대값을 구하는 과정이다.

log⁡10A=m+α\log _{10} A = m + \alpha, log⁡1010A=n+β\displaystyle \log _{10} \frac{10}{A} = n + \beta (0≤α<1,0≤β<1)( 0 \leq \alpha < 1 , 0 \leq \beta < 1 ) 라 하면, m+n+α+βm + n + \alpha + \beta에서 α+β=\alpha + \beta = 또는 이다. (i) α+β=\alpha + \beta =일 때 m+n=1m + n = 1이고 m2−2n2=m2−2(1−m)2m ^{2} - 2 n ^{2} = m ^{2} - 2 ( 1 - m ) ^{2} =−m2+4m−2= - m ^{2} + 4 m - 2 =−(m−2)2+2= - ( m - 2 ) ^{2} + 2 (ii) α+β=\alpha + \beta =일 때, m+n=0m + n = 0 이고 m2−2n2=m2−2(−m)2=−m2m ^{2} - 2 n ^{2} = m ^{2} - 2 ( - m ) ^{2} = - m ^{2} (i), (ii)에 의하여 A=A =일 때, 최대값은 이다.

또는 (나)

이다. (i) α+β=\alpha + \beta = (가)

일 때 m+n=1m + n = 1이고 m2−2n2=m2−2(1−m)2m ^{2} - 2 n ^{2} = m ^{2} - 2 ( 1 - m ) ^{2} =−m2+4m−2= - m ^{2} + 4 m - 2 =−(m−2)2+2= - ( m - 2 ) ^{2} + 2 (ii) α+β=\alpha + \beta = (나)

일 때, m+n=0m + n = 0 이고 m2−2n2=m2−2(−m)2=−m2m ^{2} - 2 n ^{2} = m ^{2} - 2 ( - m ) ^{2} = - m ^{2} (i), (ii)에 의하여 A=A = (다)

일 때, 최대값은 (라)

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) (라) ①00 11 100100 22②11 00 100100 22③00 11 1010 11④11 00 11 00⑤00 11 11 00

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①

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해설

[출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 추론하기 log⁡10A=m+α,log⁡1010A=n+β\displaystyle \log _{10} A = m + \alpha , \log _{10} {\frac{10}{A}} = n + \beta이므로 m+n+α+β=log⁡10A+log⁡1010A=1\displaystyle m + n + \alpha + \beta = \log _{10} A + \log _{10} {\frac{10}{A}} = 1 이다. 이때 m+nm + n 이 정수이므로 α+β=0\alpha + \beta = 0 또는 11이다. (i) α+β=0\alpha + \beta = 0일 때 m+n=1m + n = 1 이고 m2−2n2=−(m−2)2+2m ^{2} - 2 n ^{2} = - ( m - 2 ) ^{2} + 2 이므로 m=2m = 2일 때 최대값 2를 갖는다. (ii) α+β=1\alpha + \beta = 1일 때 m+n=0m + n = 0이고 m2−2n2=−m2m ^{2} - 2 n ^{2} = - m ^{2} m=0m = 0일 때 최대값 00을 갖는다. 따라서 (i),(ii)에 의하여 m=2m = 2 즉, log⁡10A=2\log _{10} A = 2인 A=100A = 100일 때 최대값 2를 갖는다. ∴\therefore (가)=0= 0, (나)=1= 1, (다)=100= 100, (라)=2= 2

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#지표와 가수#빈칸 추론

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