대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

지표 합 증명

문제

다음은 임의의 양수 $x$ 에 대하여 $\log x$ 의 지표와 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표의 합이 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같음을 보인 것이다.

$\log x = n + \alpha$ ( $n$ 은 정수, $0 \leq \alpha < 1$ )라 하면 $\displaystyle \log \sqrt{10} x =$ (가) , $\log x ^{2} = 2 n + 2 \alpha$ 이다. (ⅰ) $\displaystyle 0 \leq \alpha < \frac{1}{2}$ 이면 $\log x$ 의 지표와 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표의 합은 (나)

이고, 이것은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha < 1$ 이면 $\log x$ 의 지표와 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표의 합은 (다)

이고, 이것은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $\log x$ 의 지표와 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표의 합은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	$\displaystyle n + \alpha + \frac{1}{2}$	$2 n$	$2 n$
②	$\displaystyle n + \alpha + \frac{1}{2}$	$2 n$	$2 n + 1$
③	$\displaystyle n + \alpha + \frac{1}{2}$	$2 n + 1$	$2 n + 1$
④	$n + \alpha + 1$	$2 n$	$2 n + 2$
⑤	$n + \alpha + 1$	$2 n + 1$	$2 n + 2$

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②

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해설

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 관한 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\log x = n + \alpha$ ( $n$ 은 정수, $0 \leq \alpha < 1$ )라 하면 $\displaystyle \log \sqrt{10} x = n + \alpha + \frac{1}{2}$ , $\log x ^{2} = 2 n + 2 \alpha$ (i) $\displaystyle 0 \leq \alpha < \frac{1}{2}$ 이면 $\log x$ 의 지표는 $n$ , $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표는 $n$ 이므로 이들의 합은 $2 n$ 이다. 이것은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다. (ii) $\displaystyle \frac{1}{2} \leq \alpha < 1$ 이면 $\log x$ 의 지표는 $n$ 이고 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표는 $n + 1$ 이므로 이들의 합은 $2 n + 1$ 이다. 이것은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다. 따라서 (i), (ii)에 의해 $\log x$ 의 지표와 $\displaystyle \log \sqrt{10} x$ 의 지표의 합은 $\log x ^{2}$ 의 지표와 같다.

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