집합 원소 합 최대

$S \left( X \right)$의 값이 최대, $S \left( Y \right)$의 값이 최소일 때, $S \left( X \right) - S \left( Y \right)$는 최댓값을 갖는다. 집합 $X$의 임의의 서로 다른 두 원소가 서로 나누어 떨어지지 않으려면 $k \in X$일 때, $k$를 제외한 $k$의 약수와 배수가 집합 $X$의 원소가 아니어야 한다. $11$, $12$, $13$, $\cdots$, $21$은 서로 나누어떨어지지 않으므로 $S \left( X \right)$가 최댓값을 가지려면 집합 $X$는 $11$, $12$, $13$, $\cdots$, $21$을 원소로 가져야 한다. 이때 $1$, $3$, $7$은 $21$의 약수이고, $2$, $4$, $5$, $10$은 $20$의 약수, $6$, $9$는 $18$의 약수, $8$은 $16$의 약수이므로 $1$, $2$, $\cdots$, $10$은 집합 $X$의 원소가 될 수 없다. 또한 $n \left( X \cup Y \right) = 17$, $n \left( X \cap Y \right) = 1$이므로 $S \left( Y \right)$가 최솟값을 가지려면 집합 $Y$는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $11$을 원소로 가져야 한다. 따라서 $X = \left\{ 11 , 12 , 13 , \cdots , 20 , 21 \right\}$, $Y = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 11 \right\}$일 때 $S \left( X \right) - S \left( Y \right)$는 최댓값 $144$를 갖는다.