집합 순서쌍의 개수와 무한급수

집합 $A$를 정하는 방법의 수는 $\displaystyle {}_{k+2} {\mathrm{C}} _{2} = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2}$ 집합 $B$는 집합 $A _{k+2} - A$의 원소를 반드시 포함해야한다. 이때, 집합 $A$의 원소는 포함해도 그렇지 않아도 되므로 집합 $A$에 대하여 집합 $B$를 정하는 방법의 수는 $2 ^{2} = 4$이다. 따라서 가능한 순서쌍 $( A , B )$의 개수 $a _{k}$는 $a _{k}$$\displaystyle = \frac{( k + 1 ) ( k + 2 )}{2} \times 4 = 2 ( k + 1 ) ( k + 2 )$ ∴ $\displaystyle \frac{1}{a _{k}}$$\displaystyle = \frac{1}{2 ( k + 1 ) ( k + 2 )}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right\}$ ∴ $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{k}}$$\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{\infty} \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2} \right\}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2} \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$