집합 조건과 원소의 합

[출제의도] 조건을 만족시키는 집합에 속하는 원소의 합의 최댓값과 최솟값을 추론한다. 전체집합 $U = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$의 원소 중에서 조건 (다)를 만족시키는 $a \in A$, $b \in B$를 순서쌍 $\left( a , b \right)$로 나타내면 다음과 같다. $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 2 , 5 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 4 , 6 \right)$, $\left( 5 , 3 \right)$, $\left( 6 , 7 \right)$, $\left( 7 , 4 \right)$, $\left( 8 , 8 \right)$ 따라서 $1$과 $8$은 집합 $A - B$의 원소가 아니다. $p \in A - B$($p \ne 1$, $p \ne 8$)이면 $\left. ( p , q ) \in \left\{ ( 2 , 5 \right) , \left( 3 , 2 \right) , \left( 4 , 6 \right) , \left( 5 , 3 \right) , \left( 6 , 7 \right) , \left( 7 , 4 \right) \right\}$인 $q$가 집합 $B$에 존재한다. $q \in B - A$ 또는 $q \in A \cap B$ 그런데 $q \in A \cap B$인 경우에는 $\left. ( q , r ) \in \left\{ ( 2 , 5 \right) , \left( 3 , 2 \right) , \left( 4 , 6 \right) , \left( 5 , 3 \right) , \left( 6 , 7 \right) , \left( 7 , 4 \right) \right\}$인 $r$가 집합 $B - A$에 존재하게 된다. 그러므로 $r \ne 1$, $r \ne 8$ 한편 $p \ne 1$, $p \ne 8$이므로 $1$과 $8$은 집합 $B - A$의 원소가 될 수 있다. 따라서 $n ( A - B ) \leq n ( B - A )$ $n ( A - B ) = 2$, $n ( A \cup B ) = 5$이므로 $n ( B - A ) = 2$ 또는 $n ( B - A ) = 3$ (ⅰ) 집합 $B - A$에 속하는 모든 원소의 합의 최댓값을 구하기 위해 $n ( B - A ) = 3$인 경우를 생각하자. $8$은 집합 $B - A$의 원소가 될 수 있으므로 $8 \in B - A$ $n ( A - B ) = 2$, $n ( B - A ) = 3$이고 $8 \in B - A$이므로 $7$이 집합 $B - A$의 원소가 되려면 $6 \in A - B$이다. 그러므로 $7 \in B - A$이면 $6 \notin B - A$ $5$가 집합 $B - A$의 원소가 되려면 $2 \in A - B$이다. $A - B = \left\{ 2 , 6 \right\}$, $B - A = \left\{ 5 , 7 , 8 \right\}$일 때, 집합 $B - A$에 속하는 모든 원소의 합이 최대가 된다. 그러므로 최댓값은 $5 + 7 + 8 = 20$

(ⅱ) 집합 $B - A$에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값을 구하기 위해 $n ( B - A ) = 2$인 경우를 생각하자. $n \left( A - B \right) = 2$, $n ( B - A ) = 2$이므로 $1 \notin B - A$ $2$가 집합 $B - A$의 원소가 되려면 $3 \in A$ 그러므로 $2 \in B - A$이면 $3 \notin B - A$ $4$가 집합 $B - A$의 원소가 되려면 $7 \in A$이다. $B - A = \left\{ 2 , 4 \right\}$일 때, 집합 $B - A$에 속하는 모든 원소의 합이 최소이다. 그러므로 최솟값은 $2 + 4 = 6$ 실제로 집합 $B - A$에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값이 $6$인 경우는 다음 그림의 $4$가지이다.

따라서 $M = 20$, $m = 6$이므로 $M + m = 26$