미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

집합 개수 급수

문제

자연수 nn에 대하여 S(n)={1,2,3,⋯ ,n}S ( n ) = \left\{ 1 , 2 , 3 , \cdots , n \right\}이라 하자. 두 조건 A∪B∪C=S(n),A∩B=ϕA \cup B \cup C = S ( n ) , A \cap B = \phi 을 만족시키도록 세 집합 A,B,CA , B , C를 정하는 방법의 수를 ana _{n}이라 하자. ∑n=1∞1an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}}의 값은? [4점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③25\displaystyle \frac{2}{5}④35\displaystyle \frac{3}{5}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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②

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해설

집합 S(n)S ( n )의 각 원소가 위 벤다이어그램의 aa, bb, cc, dd, ee의 위치 중 어느 하나에 속하게 될 때, 집합 AA, BB, CC가 주어진 조건을 만족시킨다. 따라서 집합 AA, BB, CC를 정하는 방법의 수 an=5na _{n} = 5 ^{n}이다. ∴ ∑n=1∞1an\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{a _{n}}=∑n=1∞15n\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{5 ^{n}}=151−15\displaystyle = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}}=14\displaystyle = \frac{1}{4}

태그

#등비급수#경우의 수

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