진리집합 순서쌍 개수

[출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 두 진리집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다. $x ^{2} \leq 2 x + 8$에서 $( x + 2 ) ( x - 4 ) \leq 0$이므로 $- 2 \leq x \leq 4$ $P \subset U$이므로 $P$$= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ 명제 $\sim p \rightarrow r$가 참이므로 대우명제인 $\sim r \rightarrow p$도 참이다. 그러므로 $\sim r \rightarrow p$에서 $R ^{C} \subset P$, $p \rightarrow q$에서 $P \subset Q$ 집합 $Q$는 집합 $P$를 포함하므로 가능한 집합 $Q$의 개수는 $2 ^{4}$이다. ⅰ) $n \left( R ^{C} \right)$$= 0$인 경우 $R ^{C}$$= \emptyset$이므로 $R$$= U$이다. 그러므로 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 1$이다. ⅱ) $n \left( R ^{C} \right)$$= 1$인 경우 $R ^{C}$$= \left\{ 1 \right\}$이면 $R$$= \left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이다. 이때 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 1$이다. $R ^{C}$이 $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 3 \right\}$, $\left\{ 4 \right\}$인 경우도 가능한 집합 $Q$의 개수는 각각 $2 ^{4}$씩 이다. 그러므로 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 4$이다. ⅲ) $n \left( R ^{C} \right)$$= 2$인 경우 $R ^{C}$$= \left\{ 1 , 2 \right\}$이면 $R$$= \left\{ 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이다. 이때 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 1$이다. $R ^{C}$이 $\left\{ 1 , 3 \right\} , \left\{ 1 , 4 \right\} , \left\{ 2 , 3 \right\} , \left\{ 2 , 4 \right\} , \left\{ 3 , 4 \right\}$인 경우도 가능한 집합 $Q$의 개수는 각각 $2 ^{4}$씩 이다. 그러므로 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 6$이다. ⅳ) $n \left( R ^{C} \right) = 3$인 경우 $R ^{C} = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$이면 $R = \left\{ 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이다. 이때 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 1$이다. $R ^{C}$이 $\left\{ 1 , 2 , 4 \right\} , \left\{ 1 , 3 , 4 \right\} , \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$인 경우도 가능한 집합 $Q$의 개수는 각각 $2 ^{4}$씩 이다. 그러므로 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 4$이다. ⅴ) $n \left( R ^{C} \right) = 4$인 경우 $R ^{C} = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$이면 $R = \left\{ 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이다. 이때 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} \times 1$이다. ⅰ) ∼ ⅴ)에 의해서 순서쌍 ($Q , R$)의 개수는 $2 ^{4} + 4 \times 2 ^{4} + 6 \times 2 ^{4} + 4 \times 2 ^{4} + 2 ^{4}$$= 16 \times 2 ^{4} = 256$이다.