공통수학2명제수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

진리집합 보기 판단

문제

전체집합 $U$ 가 실수 전체의 집합일 때, 실수 $x$ 에 대한 두 조건 $p$ , $q$ 가 $p : a \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) < 0$ , $q : x > b$ 이다. 두 조건 $p$ , $q$ 의 진리집합을 각각 $P$ , $Q$ 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a$ , $b$ 는 실수이다.) [3점]

		<보 기>

	ㄱ. $a = 0$ 일 때, $P = \emptyset$ 이다. ㄴ. $a > 0$ , $b = 0$ 일 때, $P \subset Q$ 이다. ㄷ. $a < 0$ , $b = 3$ 일 때, 명제 ‘ $\sim p$ 이면 $q$ 이다.’는 참이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

[출제의도] 집합과 명제 추론하기 ㄱ. $a = 0$ 이면 $p : 0 \times \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) < 0$ 이 되어 이 부등식을 만족하는 실수 $x$ 는 존재하지 않으므로 $P = \emptyset$ 이다. $\therefore$ 참 ㄴ. $a > 0$ , $b = 0$ 이면 조건 $p$ 의 진리집합은 $P = \left\{ x \left| 1 < x < 2 \right\} \right.$ 이고, 조건 $q$ 의 진리집합은 $Q = \left\{ x \left| x > 0 \right\} \right.$ 이므로 $P \subset Q$ 이다. $\therefore$ 참 ㄷ. $a < 0$ , $b = 3$ 이면 조건 $p$ 의 진리집합은 $P = \left\{ x \left| x < 1 \text{또는} x > 2 \right\} \right.$ 이므로 조건 $\sim p$ 의 진리집합은 $P ^{C} = \left\{ x \left| 1 \leq x \leq 2 \right\} \right.$ 이다. 조건 $q$ 의 진리집합은 $Q = \left\{ x \left| x > 3 \right\} \right.$ 이고 $P ^{\mathrm{C}} \not \subset Q$ 이므로 명제 ‘ $\sim p$ 이면 $q$ 이다.’는 거짓이다. $\therefore$ 거짓

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