공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직육면체 곱셈공식

문제

그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합이 162\displaystyle 16 \sqrt{2}, 부피가 42\displaystyle 4 \sqrt{2}, AG‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = 2 \sqrt{3}인 직육면체 ABCD−EFGH{\mathrm{ABCD}} \mathit{-} {\mathrm{EFGH}}가 있다. 사각형 ABCD{\mathrm{ABCD}}의 넓이를 S1S _{1}, 사각형 BFGC{\mathrm{BFGC}}의 넓이를 S2S _{2}, 사각형 ABFE{\mathrm{ABFE}}의 넓이를 S3S _{3}이라 할 때, S12+S22+S32S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} + S _{3} ^{2}의 값은? [4점]

①2828②3030③3232④3434⑤3636

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⑤

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해설

AB‾=x\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = x, BC‾=y\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = y, BF‾=z\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = z라 하면 x+y+z=42\displaystyle x + y + z = 4 \sqrt{2} xyz=42\displaystyle xyz = 4 \sqrt{2} AG‾=x2+y2+z2=23\displaystyle {\overline{\mathrm{AG}}} = \sqrt{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}} = 2 \sqrt{3}이므로 x2+y2+z2=12x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 12 x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx)x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = \left( x + y + z \right) ^{2} - 2 \left( xy + yz + zx \right) 12=(42)2−2(xy+yz+zx)\displaystyle 12 = \left( 4 \sqrt{2} \right) ^{2} - 2 \left( xy + yz + zx \right) xy+yz+zx=10xy + yz + zx = 10 S12+S22+S32S _{1} ^{2} + S _{2} ^{2} + S _{3} ^{2}=x2y2+y2z2+z2x2= x ^{2} y ^{2} + y ^{2} z ^{2} + z ^{2} x ^{2} =(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z)= \left( xy + yz + zx \right) ^{2} - 2 xyz \left( x + y + z \right) =102−2×42×42\displaystyle = 10 ^{2} - 2 \times 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} =100−64=36= 100 - 64 = 36

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#곱셈공식#직육면체

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