직육면체 대각선의 최솟값

[출제의도] 절대부등식을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 $a$, $b$, $6$이라 하자. $6 ab = 108$이므로 $ab = 18$이고 직육면체의 대각선의 길이는 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + 6 ^{2}}$이다. $a > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq \sqrt{a ^{2} b ^{2}}$ (단, 등호는 $a ^{2} = b ^{2}$일 때 성립한다.) $a ^{2} + b ^{2} \geq 36$ $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + 36} \geq 6 \sqrt{2}$ 따라서 직육면체의 대각선의 길이의 최솟값은 $\displaystyle 6 \sqrt{2}$