직육면체 대각선

[출제의도] 곱셈 공식을 활용하여 도형 문제 해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}}$의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하자. 직육면체의 겉넓이가 $148$이므로 $2 \left( ab + bc + ca \right) = 148$이다. $ab + bc + ca = 74$$\cdots \text{㉠}$ 모든 모서리의 길이의 합이 $60$이므로 $4 \left( a + b + c \right) = 60$이다. $a + b + c = 15$$\cdots \text{㉡}$ 곱셈 공식 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = \left( a + b + c \right) ^{2} - 2 \left( ab + bc + ca \right)$에 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 대입하면 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 77$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BG}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{GD}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DB}}} ^{2} = \left( b ^{2} + c ^{2} \right) + \left( a ^{2} + c ^{2} \right) + \left( a ^{2} + b ^{2} \right)$ $= 2 \left( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \right)$ $= 154$이다.