대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직육면체 최단경로 각

문제

그림과 같이 가로와 세로의 길이가 33, 높이가 66인 직육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH가 있다. 꼭지점 A\mathrm{A}에서 직육면체의 표면을 따라 꼭지점 G\mathrm{G}까지 최단 거리의 선분을 그었을 때 모서리 CD\mathrm{CD}와 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하자.∠APG=θ\mathrm{\angle} APG = \theta일 때, 10(cos⁡θ+1)10 ( \cos \theta + 1 )의 값을 구하시오. [4점]

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9

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해설

[출제의도] 코사인 법칙을 활용하기 직육면체의 전개도에서 비례식을 이용하면 DP‾=1,PC‾=2\displaystyle \overline{DP} = 1 , \overline{PC} = 2 이므로 피타고라스 정리에 의하여 AP‾=10,CG‾=210\displaystyle \overline{AP} = \sqrt{10} , \overline{CG} = 2 \sqrt{10} 이고 AG‾=32+32+62=54\displaystyle \overline{AG} = \sqrt{3 ^{2} + 3 ^{2} + 6 ^{2}} = \sqrt{54}이다. 따라서 코사인 제2법칙에 의하여 cos⁡θ=10+40−542×10×210\displaystyle \cos \theta = \frac{10 + 40 - 54}{2 \times \sqrt{10} \times 2 \sqrt{10}}=−110\displaystyle = - \frac{1}{10} ∴ 10(cos⁡θ+1)=910 ( \cos \theta + 1 ) = 9

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#코사인법칙#전개도

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