직육면체 부피 식

[출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다. 입체도형 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$, $\mathrm{S}$, $\mathrm{T}$의 부피가 각각 $p$, $q$, $r$, $s$, $t$이므로 $p = a ^{3}$, $q = b ^{3}$, $r = a ^{2}$, $s = b ^{2}$, $t = ab ( a - b )$ $p = q + r + s + t$이므로 $a ^{3} = b ^{3} + a ^{2} + b ^{2} + ab ( a - b )$ $a ^{3} - b ^{3} - a ^{2} - b ^{2} - ab ( a - b ) = 0$ $( a - b ) ( a ^{2} + ab + b ^{2} ) - ( a ^{2} + b ^{2} ) - ab ( a - b ) = 0$ $( a - b ) ( a ^{2} + b ^{2} ) - ( a ^{2} + b ^{2} ) = 0$ $( a - b - 1 ) ( a ^{2} + b ^{2} ) = 0$ $a ^{2} + b ^{2} \ne 0$이므로 $a - b - 1 = 0$ 따라서 $a - b = 1$ [다른 풀이] 문자를 여러 개 포함한 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 정리한 후 인수분해하면 편리하다. 그러므로 $a ^{3} - b ^{3} - a ^{2} - b ^{2} - ab ( a - b ) = 0$의 좌변을 모두 전개한 후 $a$에 대하여 정리하면 $a ^{3} - b ^{3} - a ^{2} - b ^{2} - ab ( a - b )$ $= a ^{3} - ( b + 1 ) a ^{2} + b ^{2} a - b ^{3} - b ^{2}$ $= a ^{3} - ( b + 1 ) a ^{2} + b ^{2} a - b ^{2} ( b + 1 )$ $f ( x ) = x ^{3} - ( b + 1 ) x ^{2} + b ^{2} x - b ^{2} ( b + 1 )$이라고 놓으면 $f ( b + 1 ) = ( b + 1 ) ^{3} - ( b + 1 ) ( b + 1 ) ^{2} + b ^{2} ( b + 1 ) - b ^{2} ( b + 1 ) = 0$ 그러므로 $f ( x )$는 $x - b - 1$을 인수로 갖는다.

$f ( x )$는 $( x - b - 1 ) ( x ^{2} + b ^{2} )$으로 인수분해 된다. $f ( x )$에 $a$를 대입하면 $( a - b - 1 ) ( a ^{2} + b ^{2} )$ 즉, $a ^{3} - ( b + 1 ) a ^{2} + b ^{2} a - b ^{2} ( b + 1 ) = ( a - b - 1 ) ( a ^{2} + b ^{2} )$으로 인수분해 된다. $a ^{3} - ( b + 1 ) a ^{2} + b ^{2} a - b ^{2} ( b + 1 ) = 0$에서 $( a - b - 1 ) ( a ^{2} + b ^{2} ) = 0$ $a > 0 , b > 0$이므로 $a ^{2} + b ^{2} > 0$ 양변을 $a ^{2} + b ^{2}$으로 나누면 $a - b - 1 = 0$ 따라서 $a - b = 1$