기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직육면체 벡터 내적

문제

그림과 같이 AB‾=AD‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AD} = 4, AE‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 8인 직육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH에서 모서리 AE\mathrm{A} E를 1:31 : 3으로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 모서리 AB\mathrm{A} B, AD\mathrm{A} D, FG\mathrm{F} G의 중점을 각각 Q,R,S\mathrm{Q} , R , S라 하자. 선분 QR\mathrm{QR}의 중점을 T\mathrm{T}라 할 때, 벡터 T⃗P\vec{\mathrm{T}} P와 벡터 Q⃗S\vec{\mathrm{Q}} S의 내적 TP⃗∙QS⃗\vec{\mathrm{TP}} \bullet \vec{\mathrm{QS}}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

점 H\mathrm{H}를 원점으로 하고, 반직선 HE,HG,HD\mathrm{HE} , HG , HD를 각각 xx축, yy축, zz축의 양의 방향으로 하는 좌표공간을 설정하면 A(4,0,8)\mathrm{A} ( 4 , 0 , 8 ), D(0,0,8)\mathrm{D} ( 0 , 0 , 8 ), E(4,0,0)\mathrm{E} ( 4 , 0 , 0 ), F(4,4,0)\mathrm{F} ( 4 , 4 , 0 ), G(0,4,0)\mathrm{G} ( 0 , 4 , 0 )이므로 네 점 P,Q,R,S,T\mathrm{P} , Q , R , S , T의 좌표는 각각 P(4,0,6)\mathrm{P} ( 4 , 0 , 6 ), Q(4,2,8)\mathrm{Q} ( 4 , 2 , 8 ), R(2,0,8)\mathrm{R} ( 2 , 0 , 8 ), S(2,4,0)\mathrm{S} ( 2 , 4 , 0 ), T(3,1,8)\mathrm{T} ( 3 , 1 , 8 )이다. 이때 TP⃗=(1,−1,−2)\mathrm{\vec{TP}} = ( 1 , - 1 , - 2 ), QS⃗=(−2,2,−8)\mathrm{\vec{QS}} = ( - 2 , 2 , - 8 )이므로 TP⃗⋅QS⃗=(1,−1,−2)⋅(−2,2,−8)\mathrm{\vec{TP}} \cdot \vec{QS} = ( 1 , - 1 , - 2 ) \cdot ( - 2 , 2 , - 8 )=−2−2+16=12= - 2 - 2 + 16 = 12

태그

#벡터의 내적#좌표공간

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