직육면체 벡터 크기

[출제의도] 수학 내적 문제 해결능력-공간도형과 공간벡터 점 $H$를 원점으로 하고 세 반직선 ${\vec{HE}} , {\vec{HG}} , {\vec{HD}}$를 각각 $x$축, $y$축, $z$축의 양의 방향으로 하는 좌표공간을 설정하면 $A ( 3 , 0 , 1 ) , G ( 0 , 4 , 0 )$이므로 점 $M$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 2 , \frac{1}{2} \right)$이고, 두 점 $P , Q$의 좌표는 각각 $( 3 , a , 1 ) , ( 0 , b , 1 )$로 놓을 수 있다. 이때 ${\vec{AG}} = ( - 3 , 4 , - 1 )$, $\displaystyle {\vec{MP}} = \left( \frac{3}{2} , a - 2 , \frac{1}{2} \right)$, $\displaystyle {\vec{MQ}} = \left( - \frac{3}{2} , b - 2 , \frac{1}{2} \right)$ 이다. ${\vec{AG}} \perp {\vec{MP}} , {\vec{AG}} \perp {\vec{MQ}}$에서 ${\vec{AG}} \bullet {\vec{MP}} = {\vec{AG}} \bullet {\vec{MQ}} = 0$이므로 ${\vec{AG}} \bullet {\vec{MP}}$ $\displaystyle = ( - 3 ) \times \frac{3}{2} + 4 \times ( a - 2 ) + ( - 1 ) \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = - \frac{9}{2} + 4 a - 8 - \frac{1}{2} = 4 a - 13 = 0$ $\displaystyle a = \frac{13}{4}$ ${\vec{AG}} \bullet {\vec{MQ}}$ $\displaystyle = ( - 3 ) \times \left( - \frac{3}{2} \right) + 4 \times ( b - 2 ) + ( - 1 ) \times \frac{1}{2}$ $\displaystyle = \frac{9}{2} + 4 b - 8 - \frac{1}{2} = 4 b - 4 = 0$ $b = 1$ 따라서 $\displaystyle {\vec{MP}} + {\vec{MQ}} = \left( \frac{3}{2} , \frac{5}{4} , \frac{1}{2} \right) + \left( - \frac{3}{2} , - 1 , \frac{1}{2} \right) = \left( 0 , \frac{1}{4} , 1 \right)$ 이므로 $\displaystyle \left| {\vec{MP}} + {\vec{MQ}} \right| = \sqrt{0 ^{2} + \left( \frac{1}{4} \right) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$ $p = 17$