기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직육면체 벡터 자취

문제

아래 그림과 같이 각 변의 길이가 3,4,53 , 4 , 5인 직육면체 ABCD−EFGH\mathrm{ABCD} - EFGH에서 AX⃗=kAB⃗+(1−k)GD⃗\vec{AX} = k \vec{AB} + ( 1 - k ) \vec{GD}(단, 0≤k≤10 \leq k \leq 1)를 만족시키는 점 X\mathrm{X}가 나타내는 자취의 길이는? [3점]

①34\displaystyle \sqrt{34}②41\displaystyle \sqrt{41}③213\displaystyle 2 \sqrt{13}④215\displaystyle 2 \sqrt{15}⑤62\displaystyle 6 \sqrt{2}

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③

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해설

A⃗X=kA⃗B+(1−k)G⃗D(단,0≤k≤1)\vec{\mathrm{A}} X = k \vec{\mathrm{A}} B + ( 1 - k ) \vec{\mathrm{G}} D ( \text{단} , 0 \leq k \leq 1 )에서 G⃗D=−A⃗F\vec{\mathrm{G}} D = - \vec{\mathrm{A}} F을 대입하면 A⃗X=k(A⃗B+A⃗F)−A⃗F(단,0≤k≤1)\vec{\mathrm{A}} X = k \left( \vec{\mathrm{A}} B + \vec{\mathrm{A}} F ) - \vec{\mathrm{A}} F ( \text{단} , 0 \leq k \leq 1 ) \right.이다. A⃗B+A⃗F=A⃗I\vec{\mathrm{A}} B + \vec{\mathrm{A}} F = \vec{\mathrm{A}} I, −A⃗F=A⃗F′- \vec{\mathrm{A}} F = \vec{\mathrm{A}} F'라 두면 아래 그림에서

A⃗X=kA⃗I+A⃗F′(단,0≤k≤1)\vec{\mathrm{A}} X = k \vec{\mathrm{A}} I + \vec{\mathrm{A}} F' ( \text{단} , 0 \leq k \leq 1 ) ∴X\therefore \mathrm{X}의 자취는 B‾F′\displaystyle \overline{\mathrm{B}} F'이므로 자취의 길이는 ∴36+16=213\displaystyle \therefore \sqrt{36 + 16} = 2 \sqrt{13}

태그

#직육면체#자취#벡터의 연산

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