직선이 지나는 정점

[출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 직선이 항상 일정한 점을 지남을 보인다. 점 ${\mathrm{P}} ( a , b )$는 직선 $x + y = 2$ 위의 점이므로 $a + b = 2$에서 $b = 2 - a$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발은 각각 $\mathrm{Q} \mathit{(} a , 0 )$, $\mathrm{R} \mathit{(} 0 , b )$ 직선 $l$은 직선 ${\mathrm{Q} R}$와 수직이고, 직선 ${\mathrm{Q} R}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{b}{a}$이므로 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{a}{b}$$=$$\displaystyle {\square {\frac{a}{2 - a}}}$ 따라서 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y - ( 2 - a ) = {\square {\frac{a}{2 - a}}} ( x - a )$ $( 2 - a ) y - ( 2 - a ) ^{2} = a ( x - a )$ $2 y - ay - 4 + 4 a - a ^{2} = ax - a ^{2}$ $a$에 대하여 정리하면 $( x + y - 4 ) a + ( 4 - 2 y ) = 0$ …… ㉠ ㉠이 $a$의 값에 관계없이 항상 성립하려면 $x + y - 4 = 0$, $4 - 2 y = 0$ $x =$${\square {2}}$, $y =$${\square {2}}$ 따라서 $\displaystyle f ( a ) = \frac{a}{2 - a}$, $\alpha = 2$, $\beta = 2$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{4}{3} \right) + \alpha + \beta = 6$