직선과 쌍곡선의 회전체 부피

[출제의도] 정적분을 활용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가? 직선 $y = x - 1$ 과 쌍곡선 $x ^{2} - 2 y ^{2} = 1$ 의 교점의 좌표를 구하면 $x = 1 \text{또는} x = 3$ 따라서, 교점의 좌표는 $( 1 , 0 ) , ( 3 , 2 )$이다. 직선의 방정식 $x - y - 1 = 0$ 에서 $x = y + 1$ 쌍곡선의 방정식 $x ^{2} - 2 y ^{2} = 1$ 에서 $x ^{2} = 2 y ^{2} + 1$ 이므로 구하는 회전체의 부피 $V$는 $\displaystyle V = \pi \int _{0} ^{2} {( y + 1 ) ^{2} dy - \pi \int _{0} ^{2} {( 2 y ^{2} + 1 ) dy}}$ $\displaystyle = \pi \int _{0} ^{2} {( y ^{2} + 2 y + 1 ) - ( 2 y ^{2} + 1 ) dy}$ $\displaystyle = \pi \int _{0} ^{2} {( - y ^{2} + 2 y ) dy}$ $\displaystyle = \pi \left[ - \frac{y ^{3}}{3} + y ^{2} \right] _{0} ^{2} = \pi \left( - \frac{8}{3} + 4 \right) = \frac{4}{3} \pi$