미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

직선과 포물선 등비급수

문제

자연수 nn에 대하여 직선 y=(12)n−1(x−1)\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} ( x - 1 )과 이차함수 y=3x(x−1)y = 3 x ( x - 1 )의 그래프가 만나는 두 점을 A(1,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 )과 Pn{\mathrm{P}} _{n}이라 하자. 점 Pn{\mathrm{P}} _{n}에서 xx축에 내린 수선의 발을 Hn{\mathrm{H}} _{n}이라 할 때, ∑n=1∞PnHn‾\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}}의 값은? [4점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②149\displaystyle \frac{14}{9}③2918\displaystyle \frac{29}{18}④53\displaystyle \frac{5}{3}⑤3118\displaystyle \frac{31}{18}

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②

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해설

y=(12)n−1(x−1)\displaystyle y = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} ( x - 1 )과 y=3x(x−1)y = 3 x ( x - 1 )의 교점 An{\mathrm{A}} _{n}, Pn{\mathrm{P}} _{n}의 좌표는 (1,0)\left( 1 , 0 \right), (13(12)n−1,13(14)n−1−(12)n−1)\displaystyle \left( \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} , \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} - \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \right) 따라서 PnHn‾=(12)n−1−13(14)n−1\displaystyle \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}} = \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} ∑n=1∞PnHn‾=∑n=1∞(12)n−1−∑n=1∞13(14)n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \overline{{\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{H}} _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} - \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1} =11−12−131−14\displaystyle = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{4}} =2−49\displaystyle = 2 - \frac{4}{9} =149\displaystyle = \frac{14}{9}

태그

#등비급수#교점

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