직선과 두 지수함수 그래프

[출제의도] 지수방정식의 해를 구할 수 있는가?

두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $p$, $q$($p < q$)라 하면 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 직선 $y$$= \mathit{2} x + k$ 위의 점이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( p , 2 p + k \right)}$, $\mathrm{Q} \mathit{\left( q , 2 q + k \right)}$ 로 놓을 수 있다. 이때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = \sqrt{5}$, 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2}$$= 5$이므로 $\left( q - p \right) ^{2} + \left( 2 a - 2 p \right) ^{2}$$= 5$ $\left( q - p \right) ^{2}$$= 1$ $q - p > 0$이므로 $q - p$$= 1$ 즉, $q$$= p + 1$ 한편, 점 $\mathrm{P}$는 함수 $y$$\displaystyle = \left( \frac{2}{3} \right) ^{x + 3} + 1$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{p + 3} + 1$$= 2 p + k$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{Q}$는 함수 $y$$\displaystyle = \left( \frac{2}{3} \right) ^{x + 1} + \frac{8}{3}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{p + 2} + \frac{8}{3}$$= 2 p + k + 2$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{p + 2} + \frac{8}{3}$$\displaystyle = \left( \frac{2}{3} \right) ^{p + 3} + 3$ $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{p + 2}$$= 1$ $p + 2$$= 0$, 즉 $p$$= \mathit{-} 2$ $p$$= \mathit{-} 2$를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{- 2 + 3} + 1$$= 2 \times \left( - 2 \right) + k$ 따라서 $k$$\displaystyle = \frac{17}{3}$