직선을 직선에 대하여 대칭이동

두 직선 $y = - 3 x + 6$, $y = 2 x + 1$의 교점은 $- 3 x + 6 = 2 x + 1$에서 $x = 1$, 즉 $( 1 , 3 )$이다. 교점 $( 1 , 3 )$은 대칭축 위의 점이므로 대칭이동하여도 그대로이다. 직선 $y = - 3 x + 6$ 위의 다른 한 점 $( 2 , 0 )$을 직선 $y = 2 x + 1$에 대하여 대칭이동한 점을 $( a , b )$라 하자. 중점 $\displaystyle \left( \frac{2 + a}{2} , \frac{b}{2} \right)$가 직선 $y = 2 x + 1$ 위에 있으므로 $b = 2 a + 6 \cdots \text{①}$ 두 점을 지나는 직선이 $y = 2 x + 1$과 수직이므로 $\displaystyle \frac{b}{a - 2} \times 2 = - 1$, 즉 $a + 2 b = 2 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = - 2$, $b = 2$ 구하는 직선은 두 점 $( 1 , 3 )$, $( - 2 , 2 )$를 지나므로 기울기는 $\displaystyle \frac{2 - 3}{- 2 - 1} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle y - 3 = \frac{1}{3} ( x - 1 )$ 따라서 $\displaystyle y = \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$ ①