직선 y=x 위의 점까지의 거리의 합

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 는 모두 직선 $y = x$ 의 위쪽에 있다. 점 $\mathrm{A}$ 를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$ 이라 하면 $\mathrm{A}' ( 4 , 1 )$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PA}'}$ 이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PA}'} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 이고 등호는 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{A}' B$ 와 직선 $y = x$ 의 교점일 때 성립한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 2 - 4 ) ^{2} + ( 7 - 1 ) ^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ 따라서 최솟값은 $\displaystyle 2 \sqrt{10}$ 이다. 답 ③