직선 y=x 위의 점까지의 거리의 합

점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 $\mathrm{A}' ( 6 , 2 )$ 점 $\mathrm{P}$가 직선 $y = x$ 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{PB}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 두 점 $\mathrm{A}' ( 6 , 2 )$, $\mathrm{B} ( 5 , 9 )$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 반대쪽에 있으므로 선분 $\mathrm{A}' B$는 직선 $y = x$와 만나고, 그 교점이 등호가 성립하는 점 $\mathrm{P}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 6 - 5 ) ^{2} + ( 2 - 9 ) ^{2}} = \sqrt{1 + 49} = 5 \sqrt{2}$ 따라서 최솟값은 $\displaystyle 5 \sqrt{2}$이므로 답은 ③이다.