직선 y=-x 위의 점과 거리의 합의 최솟값

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 $x + y$에 대입하면 $2 + 5 > 0$, $7 + 3 > 0$이므로 두 점은 직선 $x + y = 0$에 대하여 같은 쪽에 있다. 점 $( a , b )$를 직선 $y = - x$에 대하여 대칭이동한 점은 $( - b , - a )$이므로 점 $\mathrm{A} ( 2 , 5 )$의 대칭점은 $\mathrm{A}' ( - 5 , - 2 )$이다. 직선 $y = - x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B}$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A}' B$와 직선 $y = - x$의 교점일 때 성립한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 7 - ( - 5 ) ) ^{2} + ( 3 - ( - 2 ) ) ^{2}} = \sqrt{144 + 25} = 13$ 따라서 최솟값은 $13$이다.