직선 위의 점에서 두 점까지 거리의 합의 최솟값

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $l$에 대하여 같은 쪽에 있으므로 점 $\mathrm{A}$를 직선 $l$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{A} _{1}$을 생각한다. $\mathrm{A} _{1} ( a , b )$라 하면 선분 $\mathrm{AA} _{1}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{- 3 + a}{2} , \frac{1 + b}{2} \right)$가 직선 $l$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{1 + b}{2} = - 2 \times \frac{- 3 + a}{2} + 5$ 즉 $2 a + b = 15 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{AA} _{1}$은 직선 $l$과 수직이므로 $\displaystyle \frac{b - 1}{a + 3} \times ( - 2 ) = - 1$ 즉 $a - 2 b = - 5 \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = 5$, $b = 5$이므로 $\mathrm{A} _{1} ( 5 , 5 )$ 직선 $l$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{P}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{P}} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{B}}$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A} _{1B}$와 직선 $l$의 교점 $( 2 , 1 )$일 때 성립한다. 따라서 구하는 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{B}} = \sqrt{( 5 + 1 ) ^{2} + ( 5 + 3 ) ^{2}} = \sqrt{100} = 10$