직선 위에서 제곱의 합의 최솟값

코시-슈바르츠 부등식에 의하여 $( 1 ^{2} + 2 ^{2} ) ( x ^{2} + y ^{2} ) \geq ( x + 2 y ) ^{2}$ $5 ( x ^{2} + y ^{2} ) \geq 100$이므로 $x ^{2} + y ^{2} \geq 20$ 등호는 $\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y}{2}$, 즉 $y = 2 x$일 때 성립하고, $x + 2 y = 10$과 연립하면 $x = 2$, $y = 4$이다. 따라서 $x ^{2} + y ^{2}$의 최솟값은 $20$