직선 위 수열 합

[출제의도] 두 직선의 교점을 이용하여 등차수열의 합을 구하는 문제를 해결한다. 점 $\left( n , 0 \right)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 일차함수의 그래프와 만나는 점의 $y$좌표를 $a _{n}$이라 하면 $a _{n}$을 $n$에 관한 일차식으로 나타낼 수 있으므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 등차수열이다. $\displaystyle a _{4} = \frac{7}{2}$이고 $a _{7} = 5$이므로 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $3 d$$= a _{7} - a _{4}$$\displaystyle = 5 - \frac{7}{2}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ $\displaystyle d = \frac{1}{2}$ $a _{1}$$= a _{4} - 3 d$$\displaystyle = \frac{7}{2} - 3 \times \frac{1}{2}$$= 2$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{25} a _{k}$의 값은 첫째항이 $2$이고 공차가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등차수열의 첫째항부터 제$25$항까지의 합과 같으므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{25} a _{k}$$\displaystyle = \frac{25 \left\{ 2 \times 2 + ( 25 - 1 ) \times \frac{1}{2} \right\}}{2}$$\displaystyle = \frac{25 \times 16}{2}$$= 200$ [다른 풀이 1] 점 $\left( n , 0 \right)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 일차함수의 그래프와 만나는 점의 $y$좌표를 $a _{n}$이라 하면 $a _{n}$을 $n$에 관한 일차식으로 나타낼 수 있으므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 등차수열이다. $\displaystyle a _{4} = \frac{7}{2}$이고 $a _{7} = 5$이므로 등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공차를 $d$라 하면 $3 d$$= a _{7} - a _{4}$$\displaystyle = 5 - \frac{7}{2}$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ $\displaystyle d = \frac{1}{2}$ $a _{13}$$= a _{7} + 6 d$$= 5 + 3$$= 8$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{25} a _{k}$$= ( a _{1} + a _{25} ) + ( a _{2} + a _{24} ) + \cdots + ( a _{12} + a _{14} ) + a _{13}$ $= 2 a _{13} + 2 a _{13} + \cdots + 2 a _{13} + a _{13}$ $= 12 \times 2 a _{13} + a _{13}$$= 25 a _{13}$$= 25 \times 8$$= 200$ [다른 풀이 2] $\displaystyle a _{4} = \frac{7}{2}$이고 $a _{7} = 5$이므로 직선 $l$은 두 점 $\displaystyle \left( 4 , \frac{7}{2} \right)$, $( 7 , 5 )$를 지난다. 직선 $l$의 기울기는 $\displaystyle \frac{5 - \frac{7}{2}}{7 - 4}$$\displaystyle = \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2}$이므로 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( x - 4 \right) + \frac{7}{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 점 $\left( n , 0 \right)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 직선 $l$과 만나는 점의 $y$좌표가 $a _{n}$이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{2} n + \frac{3}{2}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{25} a _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{25} \left( \frac{1}{2} k + \frac{3}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 26}{2} + \frac{3}{2} \times 25$ $\displaystyle = \frac{25 \times 13 + 3 \times 25}{2}$$\displaystyle = \frac{25 \times 16}{2}$$= 25 \times 8$$= 200$