대수지수함수와 로그함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

직선 위 점 지수 최솟값

문제

오른쪽 그림과 같이 두 점 (0,3)( 0 , 3 )과 (32,0)\displaystyle \left( \frac{3}{2} , 0 \right)을 지나는 직선 ll이 있다. 이 직선 위의 임의의 한 점을 P(a,b){\mathrm{P}} ( a , b )라 할 때, 9a+3b9 ^{a} + 3 ^{b}의 최솟값은? [3점]

①32\displaystyle 3 \sqrt{2}②33\displaystyle 3 \sqrt{3}③42\displaystyle 4 \sqrt{2}④62\displaystyle 6 \sqrt{2}⑤63\displaystyle 6 \sqrt{3}

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⑤

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해설

직선의 방정식은 y=−2x+3y = - 2 x + 3이고 점P(a,b)\mathrm{P} ( a , b )가 직선 위의 임의의 점이므로 b=−2a+3b = - 2 a + 3이다. ∴9a+3b=32a+3−2a+3≥2×32a×3−2a+3=63\displaystyle \therefore 9 ^{a} + 3 ^{b} = 3 ^{2a} + 3 ^{-2a+3} \geq 2 \times \sqrt{3 ^{2a} \times 3 ^{-2a+3}} = 6 \sqrt{3}

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