기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직선 평면 거리 일정

문제

두 상수 $a$ , $b$ ( $b < 0 < a$ )에 대하여 직선 $\displaystyle \frac{x - a}{a} = 3 - y = \frac{z}{b}$ 위의 임의의 점과 평면 $2 x - 2 y + z = 0$ 사이의 거리가 $4$ 로 일정할 때, $a - b$ 의 값은? [4점] ① $25$ ② $27$ ③ $29$ ④ $31$ ⑤ $33$

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③

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해설

직선과 평면이 평행이므로, 직선 위의 임의의 점에서 평면에 이르는 거리가 4이다. $\vec{d} = ( a , - 1 , b )$ , $\vec{n} = ( 2 , - 2 , 1 )$ , P $( a , 3 , 0 )$ $\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 a + 2 + b = 0$ , $\displaystyle 4 = \frac{| 2 a - 6 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$ $\therefore$ $a = 9$ , $b = - 20$ , $a - b = 29$

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