직선 OP 가 선분 이등분 증명

세 점 $\mathrm{O} ( 0 , 0 ) , A ( \mathit{a} , 0 ) , \mathrm{B} ( 0 , \mathit{b} )$를 꼭지점으로 하는 직각삼각형 $\mathrm{OAB}$가 있다. 두 변 $\mathrm{OA} , OB$위에 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} / / \overline{CD}$가 되도록 두 점 $\mathrm{C} ( \mathit{c} , 0 ) , \mathrm{D} ( 0 , \mathit{d} )$를 잡는다. 다음은 두 직선 $\mathrm{AD} , BC$의 교점을 $\mathrm{P}$라 할 때, 직선 $\mathrm{OP}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 이등분함을 증명한 것이다.

<증명> 직선 $\mathrm{AD}$의 방정식은 (가) …… ㉠ 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 (나) …… ㉡ 이제 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( p , q )$라 하자. ㉠ × $c -$㉡ × $a$를 계산하면 $\displaystyle x = \frac{ac ( d - b )}{cd - ab} = p$ ㉡ × $d -$㉠ × $b$를 계산하면 $\displaystyle y = \frac{bd ( c - a )}{cd - ab} = q$ 그런데 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} / / \overline{CD}$이므로 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $\mathrm{CD}$의 기울기는 같다. ∴ $\displaystyle - \frac{b}{a} = - \frac{d}{c}$ 이 때, $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{d}{c} = k$($k$는 실수)라 하면 $\displaystyle \frac{q}{p}$$\displaystyle = \frac{bd ( c - a )}{ac ( d - b )} =$(다)

∴ $\mathrm{\angle} OAB = \angle POA$, $\mathrm{\angle} OBA = \angle POB$ 직선 $\mathrm{OP}$와 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{M}$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = \overline{OM} = \overline{AM}$ 따라서 직선 $\mathrm{OP}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 이등분한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$ax + dy = ad$ $bx + cy = bc$ $\displaystyle \frac{a}{b}$②$ax + dy = ad$ $cx + by = bc$ $\displaystyle \frac{b}{a}$③$dx + ay = ad$ $cx + by = bc$ $\displaystyle \frac{a}{b}$④$dx + ay = ad$ $bx + cy = bc$ $\displaystyle \frac{a}{b}$⑤$dx + ay = ad$ $bx + cy = bc$ $\displaystyle \frac{b}{a}$