직선 3x+4y=0 위의 점과 거리의 합

두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 $3 x + 4 y$에 대입하면 $9 + 16 > 0$, $15 + 8 > 0$이므로 두 점은 직선 $3 x + 4 y = 0$에 대하여 같은 쪽에 있다. 직선 $\mathrm{OA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{3}$, 직선 $3 x + 4 y = 0$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{3}{4}$이므로 두 직선은 원점 $\mathrm{O}$에서 수직으로 만난다. 즉 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $3 x + 4 y = 0$에 내린 수선의 발은 원점이므로 점 $\mathrm{A}$의 이 직선에 대한 대칭점은 $\mathrm{A}' ( - 3 , - 4 )$이다. 직선 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{A}' P} + \overline{\mathrm{BP}} \geq \overline{\mathrm{A}' B} = \sqrt{( 5 + 3 ) ^{2} + ( 2 + 4 ) ^{2}} = 10$ 등호는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A}' B$와 직선 $3 x + 4 y = 0$의 교점일 때 성립한다. 따라서 최솟값은 $10$이다. ④