직사각형과 삼각형의 넓이 조건으로 절편 찾기

실마리: 점 $\mathrm{P}$가 직선 $l$ 위를 움직일 때 직사각형 $\mathrm{OQPR}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$을 넘지 못하고, $\displaystyle \frac{1}{2}$이 되는 것은 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}$의 중점일 때뿐이다. $\mathrm{P} \mathit{(} p , q )$ ($0 < p < a$)라 하면 $\mathrm{P}$가 직선 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 위에 있으므로 $\displaystyle q = b \left( 1 - \frac{p}{a} \right) = \frac{b \left( a - p \right)}{a}$ 직사각형 $\mathrm{OQPR}$의 넓이는 $\displaystyle pq = \frac{bp \left( a - p \right)}{a}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} ab$이므로 그 $\displaystyle \frac{1}{2}$은 $\displaystyle \frac{1}{4} ab$ $\displaystyle \frac{bp \left( a - p \right)}{a} = \frac{1}{4} ab$에서 $4 p \left( a - p \right) = a ^{2}$ $4 p ^{2} - 4 ap + a ^{2} = 0$, $\left( 2 p - a \right) ^{2} = 0$ $\displaystyle p = \frac{a}{2}$, $\displaystyle q = \frac{b}{2}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \mathit{5}$이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{4} + \frac{b ^{2}}{4} = 25$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} = 100$ …… ㉠ 직사각형의 넓이가 $12$이므로 $\displaystyle \frac{1}{4} ab = 12$, 즉 $ab = 48$ …… ㉡ $\left( a + b \right) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} + 2 ab = 100 + 96 = 196$ $a + b > 0$이므로 $a + b = 14$ (검산: ㉠, ㉡에서 $a$, $b$는 $t ^{2} - 14 t + 48 = 0$의 두 근 $8$, $6$이므로 $a = 8$, $b = 6$이고 $\mathrm{P} \mathit{(} 4 , 3 )$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \mathit{5}$, 직사각형의 넓이 $12$, 삼각형의 넓이 $24$이다.) 따라서 $a + b = 14$