직사각형과 반원 도형 급수

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

선분 $\mathrm{B} _{1} C _{1}$의 중점을 $\mathrm{M} _{1}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{B} _{1} C _{1} D _{1}$에서 $\tan \left( \angle \mathrm{C} _{1} B _{1} D _{1} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{C} _{1} D _{1}}}}{{\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\angle \mathrm{C} _{1} B _{1} G _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{6}$이고 $\angle \mathrm{C} _{1} M _{1} G _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{E} _{1}$은 선분 $\mathrm{A} _{1} D _{1}$을 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} E _{1}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} \times \frac{1}{3}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} E _{1}$에서 $\tan \left( \angle \mathrm{E} _{1} B _{1} A _{1} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{A} _{1} E _{1}}}}{{\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\angle \mathrm{E} _{1} B _{1} A _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{6}$ $\angle \mathrm{G} _{1} B _{1} E _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \angle \mathrm{C} _{1} B _{1} G _{1} - \angle \mathrm{E} _{1} B _{1} A _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{6}$에서 $\angle \mathrm{G} _{1} M _{1} F _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 두 삼각형 $\mathrm{B} _{1} M _{1} F _{1}$, $\mathrm{F} _{1} M _{1} G _{1}$은 모두 정삼각형이므로 $\angle \mathrm{F} _{1} M _{1} B _{1}$$= \angle \mathrm{M} _{1} F _{1} G _{1}$이 되어 두 선분 $\mathrm{F} _{1} G _{1}$, $\mathrm{B} _{1} C _{1}$은 서로 평행하다. 삼각형 $\mathrm{B} _{1} G _{1} F _{1}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{F} _{1} M _{1} G _{1}$의 넓이와 같고, 두 선분 $\mathrm{B} _{1} F _{1}$, $\mathrm{B} _{1} G _{1}$과 호 $\mathrm{F} _{1} G _{1}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 부채꼴 $\mathrm{F} _{1} M _{1} G _{1}$의 넓이와 같으므로 $S _{1}$$\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 2 \right) - \left\{ \frac{1}{2} \times \left( \sqrt{3} \right) ^{2} \times \frac{\pi}{3} \right\}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{2}$ 다음은 그림 $R _{n + 1}$의 일부이다.

선분 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}$의 중점을 $\mathrm{M} _{\mathit{n}}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}}$$= a _{n}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}$$= a _{n + 1}$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = 1 : \sqrt{3}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \sqrt{3} a _{n}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = 1 : \sqrt{3}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = \sqrt{3} a _{n + 1}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{A} _{n + 1}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}}}{\tan \frac{\pi}{6}}$$\displaystyle = \sqrt{3} a _{n + 1}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}}} + {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} a _{n + 1}$ 직각삼각형 $\mathrm{M} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{M} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{M} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}} ^{2}$ 이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{M} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} a _{n}$이므로 $\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}}} - {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n} + 1}}} ^{2}$$\displaystyle = \frac{3}{4} a _{n} ^{2}$ $\displaystyle \left( 2 \sqrt{3} a _{n + 1} - \frac{\sqrt{3}}{2} a _{n} \right) ^{2} + a _{n + 1} ^{2}$$\displaystyle = \frac{3}{4} a _{n} ^{2}$ $13 a _{n + 1} ^{2} - 6 a _{n} a _{n + 1}$$= 0$ $a _{n + 1}$$\displaystyle = \frac{6}{13} a _{n}$이므로 두 사각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n}} \mathrm{D} _{\mathit{n}}$과 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{B} _{\mathit{n} + \mathrm{1}} \mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$의 닮음비가 $13 : 6$이고 넓이의 비는 $169 : 36$이다. 따라서 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{36}{169}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{4 \sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{2}}{1 - \frac{36}{169}}$$\displaystyle = \frac{169}{798} \left( 8 \sqrt{3} - 3 \pi \right)$