미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

직사각형 윗부분 넓이 합

문제

아래 그림과 같이 xx좌표가 각각 1,23,(23)2,(23)3,⋯ ,(23)n−1,⋯\displaystyle 1 , \frac{2}{3} , \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} , \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} , \cdots , \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1} , \cdots 인 xx축 위의 점에서 yy축에 평행한 직선을 그어 곡선 y=x2y = x ^{2}과 만나는 점을 한 꼭짓점으로 하는 직사각형을 한없이 만든다. 이 직사각형들이 곡선 y=x2y = x ^{2}에 의하여 잘려진 윗부분들의 넓이의 합은? [3점]

①557\displaystyle \frac{5}{57}②219\displaystyle \frac{2}{19}③757\displaystyle \frac{7}{57}④857\displaystyle \frac{8}{57}⑤319\displaystyle \frac{3}{19}

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④

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해설

직사각형의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 직사각형의 넓이를 차례로 더하면 S1=(1−23)×12+{23−(23)2}×(23)2\displaystyle S _{1} = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) \times 1 ^{2} + \left\{ \frac{2}{3} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \right\} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} +{(23)2−(23)3}×(23)4+⋯\displaystyle + \left\{ \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} - \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} \right\} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{4} + \cdots =13+13×(23)3+(13)×(23)6+⋯\displaystyle = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} + \left( \frac{1}{3} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{6} + \cdots 따라서, 직사각형의 넓이는 첫째항이 13\displaystyle \frac{1}{3}이고 공비가 (23)3\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}인 무한등비급수이므로 S1=131−(23)3=919\displaystyle S _{1} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{3}} = \frac{9}{19} 또한 곡선 y=x2y = x ^{2}과 xx축, x=1x = 1로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하면 S2=∫01x2dx=[13x3]01=13\displaystyle S _{2} = \int _{0} ^{1} x ^{2} dx = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{1} = \frac{1}{3} 따라서 구하는 넓이를 SS라 하면 S=S1−S2=919−13=857\displaystyle S = S _{1} - S _{2} = \frac{9}{19} - \frac{1}{3} = \frac{8}{57}

태그

#무한등비급수#정적분

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