직사각형 속 두 직선

[출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

사각형 $\mathrm{OAEF}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{DFE}$의 넓이의 합은 삼각형 $\mathrm{OAD}$의 넓이이고, 사각형 $\mathrm{BCFD}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{DFE}$의 넓이의 합은 삼각형 $\mathrm{CEB}$의 넓이이므로 삼각형 $\mathrm{OAD}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{CEB}$의 넓이보다 $4$만큼 크다. $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{CB}} = 4$이므로 삼각형 $\mathrm{OAD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \mathrm{\overline{DA}}$이고 삼각형 $\mathrm{CEB}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \mathrm{\overline{BE}}$이다. $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \mathrm{\overline{DA}} = \frac{1}{2} \times 4 \times \mathrm{\overline{BE}} + 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DA}} = {\overline{\mathrm{BE}}} + 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \mathit{k}$라 놓으면, $\displaystyle \mathrm{\overline{DA}} = \mathit{k} + 2$ 직선 $\mathrm{OD}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{k + 2}{\mathrm{4}}$ 직선 $\mathrm{CE}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{k}{4}$ 직선 $\mathrm{OD}$와 직선 $\mathrm{CE}$의 기울기의 곱은 $\displaystyle - \frac{7}{9}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{k + 2}{4} \right) \times \left( - \frac{k}{4} \right) = \mathit{-} \frac{7}{9}$ $9 k ^{2} + 18 k - 112 = 0$ $\left( 3 k - 8 \right) \left( 3 k + 14 \right) = 0$ $\displaystyle k = \frac{8}{3}$ 또는 $\displaystyle k = \mathit{-} \frac{14}{3}$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = \frac{8}{3}$ 직선 $\mathrm{OD}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{7}{6} x$ 직선 $\mathrm{CE}$의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2}{3} x + 5$ 두 직선이 만나는 점은 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{30}{11} , \frac{35}{11} \right)$ $\displaystyle a = \frac{30}{11}$, $\displaystyle b = \frac{35}{11}$ 따라서 $22 \left( a + b \right) = 130$