공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 삼각형 넓이 합

문제

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} : \overline{DC} = 3 : 2$ 인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. 변 $\mathrm{AD}$ 를 삼등분한 점들 중 $\mathrm{A}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{P} _{1}$ , $\mathrm{D}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{P} _{2}$ 라 하고, 변 $\mathrm{DC}$ 를 삼등분한 점들 중 $\mathrm{D}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{Q} _{1}$ , $\mathrm{C}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{Q} _{2}$ 라 하자.

세 삼각형 $\mathrm{A} Q _{1} D$ , $\mathrm{P} _{1} Q _{2} D$ , $\mathrm{P} _{2} C D$ 의 넓이의 합이 $10$ 일 때, 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 의 둘레의 길이는? [4점] ① $\displaystyle 10 \sqrt{2}$ ② $\displaystyle 10 \sqrt{3}$ ③ $20$ ④ $\displaystyle 10 \sqrt{5}$ ⑤ $\displaystyle 10 \sqrt{6}$

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②

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해설

[출제의도] 연립이차방정식을 활용하여 추론하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = x$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}} = y$ 라 하면 $x : y = 3 : 2$ $2 x = 3 y$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ $\triangle \mathrm{AQ} _{1} D + \triangle \mathrm{P} _{1} Q _{2} D + \triangle \mathrm{P} _{2} CD$ $\displaystyle = \frac{xy}{6} + \frac{2 xy}{9} + \frac{xy}{6} = \frac{5 xy}{9} = 10$ 에서 $xy = 18$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$ , $\text{㉡}$ 에서 $\displaystyle x = 3 \sqrt{3}$ , $\displaystyle y = 2 \sqrt{3}$ 따라서 직사각형의 둘레의 길이는 $\displaystyle 10 \sqrt{3}$

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