공통수학2평면좌표AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

직사각형 넓이의 최댓값

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A(6,0)\mathrm{A} ( 6 , 0 ), B(0,4)\mathrm{B} ( 0 , 4 )에 대하여 점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB} 위를 움직인다. 점 P\mathrm{P}에서 xx축, yy축에 내린 수선의 발과 원점 O\mathrm{O}, 점 P\mathrm{P}를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이의 최댓값은? (단, 점 P\mathrm{P}는 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 아니다.) [4점]

①44②55③66④88⑤1212

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③

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해설

점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB}를 t:(1−t)t : ( 1 - t ) (0<t<10 < t < 1)로 내분하는 점이라 하면 P(6−6t,4t)\mathrm{P} ( 6 - 6 t , 4 t ) 직사각형의 가로의 길이는 6−6t6 - 6 t, 세로의 길이는 4t4 t이므로 넓이 SS는 S=(6−6t)×4t=−24t2+24tS = ( 6 - 6 t ) \times 4 t = - 24 t ^{2} + 24 t =−24(t−12)2+6\displaystyle = - 24 \left( t - \frac{1}{2} \right) ^{2} + 6 t=12\displaystyle t = \frac{1}{2}는 0<t<10 < t < 1을 만족시키므로 SS의 최댓값은 66이다. 이때 점 P\mathrm{P}는 선분 AB\mathrm{AB}의 중점 (3,2)( 3 , 2 )이다. 따라서 답은 ③이다.

태그

#넓이의 최댓값#내분점#직사각형

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